Μαθηματικά ΙΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών: Καρτεσιανές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες στο χώρο. Εεπιφάνειες δευτέρου βαθμού. Όρια, συνέχεια συναρτήσεων, μερική παράγωγος 1ης τάξης, φυσική σημασία, κανόνες παραγώγισης. Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης, θεώρημα Schwartz, τελεστής Laplace, αρμονικές συναρτήσεις και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις κύματος και διάχυσης. Διαφορισιμότητα, ολικό διαφορικό, συνάρτηση δυναμικού. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, αλλαγή συστήματος συντεταγμένων σε μερικές διαφορικές εξισώσεις, ομογενείς συναρτήσεις. Πεπλεγμένες συναρτήσεις, θεωρήματα ύπαρξης. Ιακωβιανή ορίζουσα και συναρτησιακή ανεξαρτησία. Θεωρήματα μέσης τιμής Taylor και Maclaurin. Ακρότατα συναρτήσεων και δεσμευμένα ακρότατα.
Διανυσματική Ανάλυση: Μεταφορά – περιστροφή συστήματος συντεταγμένων. Διανυσματική ανάλυση και διανύσματα στο χώρο. Όριο, συνέχεια και παράγωγος διανυσματικών συναρτήσεων μίας και πολλών μεταβλητών. Στοιχεία από τη διαφορική γεωμετρία των καμπυλών στο χώρο. Διάνυσμα θέσης σωματιδίου, διάνυσμα ταχύτητας και επιτάχυνσης. Μοναδιαίο εφαπτόμενο και μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε καμπύλη. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ή τρίεδρο Frenet?Serret, καμπυλότητα και στρέψη καμπύλης. Τελεστής ανάδελτα, κλίση βαθμωτής συνάρτησης, φυσική-γεωμετρική σημασία, παράγωγος ως προς διεύθυνση. Απόκλιση και περιστροφή διανυσματικών συναρτήσεων, αστρόβιλα και σωληνοειδή πεδία, βασικές διανυσματικές ταυτότητες.
Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών: Διπλά ολοκληρώματα, φυσική σημασία, εύρεση ορίων ολοκλήρωσης, μάζες και ροπές επίπεδων χωρίων.
Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων στην ολοκλήρωση, τριπλά ολοκληρώματα, εύρεση ορίων ολοκλήρωσης, μάζες και ροπές στερεών. Επικαμπύλια ολοκληρώματα Α’ και Β’ είδους, φυσική σημασία (μάζες – ροπές ελατηρίων, έργο, ροή, κυκλοφορία), επιφανειακά ολοκληρώματα, φυσική σημασία (μάζες – ροπές επιφανειών, ροή). Θεωρήματα Gauss, Stokes, Green, φυσική σημασία.

ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Να δώσει στο φοιτητή και στη φοιτήτρια Μηχανολόγο Μηχανικό τις γνώσεις των εφαρμοσμένων μαθηματικών για μηχανικούς που χρειάζεται στην επιστήμη του/της στις περιοχές του διαφορικού-ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και της διανυσματικής ανάλυσης. Οι γνώσεις αυτές είναι αναγκαίες και χρησιμοποιούνται σε πολλά επόμενα μαθήματα ειδικότητας του Μηχανολόγου Μηχανικού.